Conceptual Mathematics(P146) 10. Retraction and injectivity

[定義]　map a:X->Yが injective(単射)

任意のmap x1,x2:X->Y について もしも ax1 = ax2 ならば x1=x2であるとき．

[解説]
対偶をとるとわかりやすい．任意のmap x1,x2:X->Y について もしも x1 != x2 ならば ax1 != ax2であるとき．
（map aは区別を保存する）

[Ex18]
a が retractionを持つならば a は injective

[証明]

ra = IDx (1) 仮定より 
ax1 = ax2 (2) injectiveの条件より

x1 = IDx x1
   = ra x1
   = ra x2 (2)
   = IDx x2 (1)
   = x2
qed.

圏Setでは， 上の逆は，ほぼ正しい．すなわち Xが空集合である場合の除き，a:X->Y　が injective ならば a は retraction を持つ。すなわち p:Y->X　pa = IDx なる p が存在する．しかしこれは，その他の圏においては，一般には正しく無い．